Zur Definition eines Vektors x ben\366tigen wir durchweg das "LinearAlgebra"-Pakte, das durch die Eingabe "with(LinearAlgebra):" eingebunden wird. Anschlie\337end definiert man einen n-dimensionalen Spaltenvektor durch "<x_1,x_2,...,x_n>" (bzw. "Vector([x_1,x_2,...,x_n])") und einen n-dimensionalen Zeilenvektor durch "<x_1|x_2|...|x_n>" (bzw. "Vector[row]([x_1,x_2,...,x_n])"). Alternativ zu diesem Paket, gibt es auch das Paket "linalg", dessen entsprechende Funktionen wir lediglich am Rande erw\344hnen werden. In diesem Zusammenhang wird ein Vektor x durch "vector([x_1,x_2,...,x_n])" definiert. Beispiele:restart: x := <1,2,3>; (Spaltenvektor) x := <1|2|3>; (Zeilenvektor) with(LinearAlgebra): x := Vector([1,2,3]); (Spaltenvektor) x := Vector[row]([1,2,3]); (Zeilenvektor)

NiM+SSJ4RzYiLUknUlRBQkxFR0YlNiUiJ3MjZSQtSSdNQVRSSVhHRiU2IzclNyMiIiI3IyIiIzcjIiIkJkknVmVjdG9yRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRjdJKF9zeXNsaWJHRiU2I0knY29sdW1uR0YlNiM+SSJ4RzYiLUknUlRBQkxFR0YlNiUiJz9SZC1JJ1ZFQ1RPUkdGJTYjNyUiIiIiIiMiIiQmSSdWZWN0b3JHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGNEkoX3N5c2xpYkdGJTYjSSRyb3dHRiU=NiM+SSJ4RzYiLUknUlRBQkxFR0YlNiUiJ2d3ZC1JJ01BVFJJWEdGJTYjNyU3IyIiIjcjIiIjNyMiIiQmSSdWZWN0b3JHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGN0koX3N5c2xpYkdGJTYjSSdjb2x1bW5HRiU=NiM+SSJ4RzYiLUknUlRBQkxFR0YlNiUiJz8vZS1JJ1ZFQ1RPUkdGJTYjNyUiIiIiIiMiIiQmSSdWZWN0b3JHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGNEkoX3N5c2xpYkdGJTYjSSRyb3dHRiU=

Aufgaben: Definiere die folgenden Vektoren a) (2, -1, -3), (-3, 0, 4), (1, 1, -1) als Spaltenvektoren b) (1, 5, 7), (-1, 3, 6), (0, 4, 5) als Zeilenvektoren

Zu den Rechenoperationen von n-dimensionalen Vektoren z\344hlen die Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren. Die in diesem Bereich wichtigen Funktionen sind "Add(x,y)" (bzw. "VectorAdd(x,y)") zur Addition und "ScalarMultiply(x,lambda)" (bzw. "VectorScalarMultiply(x,lambda)") zur Multiplikation mit Skalaren. Beispiele:with(LinearAlgebra): x := <1,5,7>: (1. Vektor) y := <-1,3,6>: (2. Vektor) lambda := 2; (Skalarwert) x+y; (Vektoraddition) VectorAdd(x,y); (Vektoraddition) Add(x,y); (Vektoraddition, allgemeinste Fassung. Erm\366glicht auch Matrizenaddition) lambda*x; (Multiplikation mit Skalaren) VectorScalarMultiply(x,lambda); (Multiplikation mit Skalaren) ScalarMultiply(x,lambda); (Multiplikation mit Skalaren, allgemeinste Fassung. Erm\366glicht auch Skalarmultiplikation bei Matrizen)

NiM+SSdsYW1iZGFHNiIiIiM=NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInQ29lLUknTUFUUklYR0YlNiM3JTcjIiIhNyMiIik3IyIjOCZJJ1ZlY3Rvckc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0Y1SShfc3lzbGliR0YlNiNJJ2NvbHVtbkdGJQ==NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInazBmLUknTUFUUklYR0YlNiM3JTcjIiIhNyMiIik3IyIjOCZJJ1ZlY3Rvckc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0Y1SShfc3lzbGliR0YlNiNJJ2NvbHVtbkdGJQ==NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInJ1IkZi1JJ01BVFJJWEdGJTYjNyU3IyIiITcjIiIpNyMiIzgmSSdWZWN0b3JHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGNUkoX3N5c2xpYkdGJTYjSSdjb2x1bW5HRiU=NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInR3JmLUknTUFUUklYR0YlNiM3JTcjIiIjNyMiIzU3IyIjOSZJJ1ZlY3Rvckc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0Y1SShfc3lzbGliR0YlNiNJJ2NvbHVtbkdGJQ==NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInITMwJy1JJ01BVFJJWEdGJTYjNyU3IyIiIzcjIiM1NyMiIzkmSSdWZWN0b3JHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGNUkoX3N5c2xpYkdGJTYjSSdjb2x1bW5HRiU=NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInPyYzJy1JJ01BVFJJWEdGJTYjNyU3IyIiIzcjIiM1NyMiIzkmSSdWZWN0b3JHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGNUkoX3N5c2xpYkdGJTYjSSdjb2x1bW5HRiU=

Der n-dimensionale Nullvektor (bzw. das additive neutrale Element) ist durch "ZeroVector(n)", der Inversvektor (bzw. das additive inverse Element) zu einem Vektor x ist durch "-x" und der k-te n-dimensionale Einheitsvektor ist durch "UnitVector(k,n)" gegeben. Beispiel:with(LinearAlgebra): x := <1,5,7>; ZeroVector(3); (Nullvektor) -x; (Inversvektor) UnitVector(2,3); (Einheitsvektor)

NiM+SSJ4RzYiLUknUlRBQkxFR0YlNiUiJzckZSQtSSdNQVRSSVhHRiU2IzclNyMiIiI3IyIiJjcjIiIoJkknVmVjdG9yRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRjdJKF9zeXNsaWJHRiU2I0knY29sdW1uR0YlNiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInXyRlJC1JJ01BVFJJWEdGJTYjNyU3IyIiIUYsRiwmSSdWZWN0b3JHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGMUkoX3N5c2xpYkdGJTYjSSdjb2x1bW5HRiU=NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSIndy9pLUknTUFUUklYR0YlNiM3JTcjISIiNyMhIiY3IyEiKCZJJ1ZlY3Rvckc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0Y1SShfc3lzbGliR0YlNiNJJ2NvbHVtbkdGJQ==NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInSyVlJC1JJ01BVFJJWEdGJTYjNyU3IyIiITcjIiIiRiwmSSdWZWN0b3JHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGM0koX3N5c2xpYkdGJTYjSSdjb2x1bW5HRiU=

Aufgaben: Berechne a) x+y, mx-ny, x+y+z f\374r die Spaltenvektoren x=(2, -1, -3), y=(-3, 0, 4), z=(1, 1, -1) und die Skalarwerte m=3, n=7

Die (euklidische) L\344nge (bzw. Vektornorm) eines Vektors x wird von der Funktion "VectorNorm(x,2)" (bzw. "norm(x,2)") berechnet. Beispiel:with(LinearAlgebra): VectorNorm(<1,2,3>, 2);

NiMqJCIjOSMiIiIiIiM=

Die Normierung eines Vektors x wird von der Funktion "Normalize(x, Euclidean, conjugate=false)" (bzw. "normalize(x)") berechnet. Beispiele:with(LinearAlgebra): Normalize(<1,2,3>, Euclidean, conjugate=false);

NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInb0hqLUknTUFUUklYR0YlNiM3JTcjLCQqJCIjOSMiIiIiIiMjRjFGLzcjLCRGLiNGMSIiKDcjLCRGLiMiIiRGLyZJJ1ZlY3Rvckc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0Y/SShfc3lzbGliR0YlNiNJJ2NvbHVtbkdGJQ==

Das Skalarprodukt zweier Vektoren x, y wird von der Funktion "DotProduct(x, y)" (bzw. "dotprod(x, y)") berechnet. Zur Erinnerung: Zwei Vektoren x, y sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Beispiel:with(LinearAlgebra): DotProduct(<3,2,-1>, <2,-5,2>);

NiMhIic=

Der Winkel zwischen zwei Vektoren x, y wird von der Funktion "VectorAngle(x,y)" (bzw. "angle(x,y)") berechnet. Beispiel:with(LinearAlgebra): VectorAngle(<1,0,0>, <0,1,0>);

NiMsJEkjUGlHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiUjIiIiIiIj

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren x, y wird von der Funktion "CrossProduct(x, y)" (bzw. "crossprod(x, y)") berechnet. Beispiel:with (LinearAlgebra): CrossProduct(<3,2,-1>, <2,-5,2>);

NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInSyVlJC1JJ01BVFJJWEdGJTYjNyU3IyEiIjcjISIpNyMhIz4mSSdWZWN0b3JHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGNUkoX3N5c2xpYkdGJTYjSSdjb2x1bW5HRiU=

Das Spatprodukt dreier Vektoren x, y, z erh\344lt man, indem man das Kreuzprodukt von x und y mit z skalarmultipliziert. Beispiel:with(LinearAlgebra): x := <1,1,2>: y := <-2,3,7>: z := <-4,-2,2>: DotProduct(CrossProduct(x,y),z);

NiMiI0c=

Die Transposition eines Vektors x wird von der Funktion "Transpose(x)" (bzw. "transpose(x)") berechnet. Beispiel:with(LinearAlgebra): x := <3,2,-1>; Transpose(x);

NiM+SSJ4RzYiLUknUlRBQkxFR0YlNiUiJz9Bay1JJ01BVFJJWEdGJTYjNyU3IyIiJDcjIiIjNyMhIiImSSdWZWN0b3JHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGN0koX3N5c2xpYkdGJTYjSSdjb2x1bW5HRiU=NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInISlcay1JJ1ZFQ1RPUkdGJTYjNyUiIiQiIiMhIiImSSdWZWN0b3JHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGMkkoX3N5c2xpYkdGJTYjSSRyb3dHRiU=

Aufgaben: Berechne die L\344nge, die Normierung, das Skalarprodukt und den Winkel der Vektoren a) x=(2, 3, 1, -1, 1), y=(2, 1, -1, -1, 1)Bestimme alpha derart, dass die folgenden Vektoren orthogonal sind b) x=(1, alpha, -3), y=(2, -5, 4) Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren c) x=(1, 1, 2), y=(2, -1, 3) d) x=(2, 1, -1), y=(-4, -2, 2) Transponiere den Vektor e) x=(3, -4, 0, 2) Berechne das Spatprodukt der Vektoren f) x=(2,-1,3), y=(11,-9,4), z=(0,1,1)

Die lineare Unabh\344ngigkeit von Vektoren x_1,...,x_n l\344sst sich beispielsweise mithilfe der Funktion "LinearSolve(<x_1|...|x_n>,<0,...,0>)" (bzw. "linsolve()") bestimmen. Ersteres ist im Paket "LinearAlgebra" und letzteres im Paket "linalg" enthalten. Besitzt dieses Gleichungssystem nur die triviale L\366sung, also nur die L\366sung (0,...,0), so sind die Vektoren x_1,...,x_n linear unabh\344ngig, andernfalls sind sie linear abh\344ngig. Beispiele:with(LinearAlgebra): x1 := Vector([1,0,0]): x2 := Vector([1,1,0]): x3 := Vector([1,1,1]): LinearSolve(<x1|x2|x3>,<0,0,0>); (Linear unabh\344ngig) x1 := Vector([2,-1,3]): x2 := Vector([1,1,-2]): x3 := Vector([3,-3,8]): LinearSolve(<x1|x2|x3>,<0,0,0>); (Linear abh\344ngig)

NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInc0dgLUknTUFUUklYR0YlNiM3JTcjIiIhRixGLCZJJ1ZlY3Rvckc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YxSShfc3lzbGliR0YlNiNJJ2NvbHVtbkdGJQ==NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInN0hgLUknTUFUUklYR0YlNiM3JTcjLCQmSSRfdDBHRiU2IyIiJCEiIzcjRi5GMyZJJ1ZlY3Rvckc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0Y3SShfc3lzbGliR0YlNiNJJ2NvbHVtbkdGJQ==

Die \334berpr\374fung, ob gewisse Vektoren x_1,...,x_n eine Basis (bzw. ein Erzeugendensystem) vom IR^n bilden, l\344sst sich mithilfe der Funktion "Basis([x_1,...,x_n])" (bzw. "basis({x_1,...x_n})") machen, die im Paket "LinearAlgebra" (bzw. "linalg") enthalten ist. Beispiele:with(LinearAlgebra): x1 := Vector([1,0,0]): x2 := Vector([1,1,0]): x3 := Vector([1,1,1]): Basis([x1,x2,x3]); (3 linear unabh\344ngige Vektoren) x1 := Vector([2,-1,3]): x2 := Vector([1,1,-2]): x3 := Vector([3,-3,8]): Basis([x1,x2,x3]); (2 linear unabh\344ngige und 1 linear abh\344ngiger Vektor) x1 := Vector([2,-1,3]): x2 := Vector([1,1,-2]): Basis([x1,x2]); (Test f\374r weniger Vektoren) x1 := Vector([1,0,0]): x2 := Vector([0,1,0]): x3 := Vector([0,0,1]): x4 := Vector([1,1,1]): Basis([x1,x2,x3,x4]); (Test f\374r mehrere Vektoren)

NiM3JS1JJ1JUQUJMRUc2IjYlIicleVsnLUknTUFUUklYR0YmNiM3JTcjIiIiNyMiIiFGLyZJJ1ZlY3Rvckc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0Y0SShfc3lzbGliR0YmNiNJJ2NvbHVtbkdGJi1GJTYlIic7XmwtRio2IzclRi1GLUYvRjEtRiU2JSInJ3BIJy1GKjYjNyVGLUYtRi1GMQ==NiM3JC1JJ1JUQUJMRUc2IjYlIidvS20tSSdNQVRSSVhHRiY2IzclNyMiIiM3IyEiIjcjIiIkJkknVmVjdG9yRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRjZJKF9zeXNsaWJHRiY2I0knY29sdW1uR0YmLUYlNiUiJzNxbS1GKjYjNyU3IyIiIkZANyMhIiNGMw==NiM3JC1JJ1JUQUJMRUc2IjYlIic/M24tSSdNQVRSSVhHRiY2IzclNyMiIiM3IyEiIjcjIiIkJkknVmVjdG9yRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRjZJKF9zeXNsaWJHRiY2I0knY29sdW1uR0YmLUYlNiUiJ0dVbi1GKjYjNyU3IyIiIkZANyMhIiNGMw==NiM3JS1JJ1JUQUJMRUc2IjYlIicvRG8tSSdNQVRSSVhHRiY2IzclNyMiIiI3IyIiIUYvJkknVmVjdG9yRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRjRJKF9zeXNsaWJHRiY2I0knY29sdW1uR0YmLUYlNiUiJ1dpby1GKjYjNyVGL0YtRi9GMS1GJTYlIicvISpvLUYqNiM3JUYvRi9GLUYx

Wir k\366nnen auch die Darstellung eines Vektors als Linearkombination der Basisvektoren ermitteln, indem die Koeffizienten der Basisfunktionen bestimmt werden. Dazu verwenden wir erneut die Funktionen "LinearSolve(<x_1|...|x_n>,<0,...,0>)" (bzw. "linsolve()"). Beispiel:with(LinearAlgebra): x1 := Vector([1,1,1]): (1. Basisvektor) x2 := Vector([1,2,3]): (2. Basisvektor) x3 := Vector([2,-1,1]): (3. Basisvektor) X := Vector([1,-2,5]): (Vektor zur Bestimmung der Linearkombination) LinearSolve(<x1|x2|x3>,X); (Linear unabh\344ngig)

NiMtSSdSVEFCTEVHNiI2JSInX0xgLUknTUFUUklYR0YlNiM3JTcjISInNyMiIiQ3IyIiIyZJJ1ZlY3Rvckc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0Y1SShfc3lzbGliR0YlNiNJJ2NvbHVtbkdGJQ==

TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzM1ODI3MlgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIiIiIyIiJDYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzU3MzkyMFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISQlISEhIiQiJCIiIiIiIyIiJDYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzU3NzY2MFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIiIiIyIiJDYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzU4MDQyMFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISQlISEhIiQiJCIiIiIiIyIiJDYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzU4NjgyNFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiISIiKSIjODYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzU5MDU2NFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiISIiKSIjODYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzU5MzM5NlgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiISIiKSIjODYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzU5NzEyOFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIyIjNSIjOTYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzYwNTA4MFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIyIjNSIjOTYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzYwODUyMFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIyIjNSIjOTYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzM1ODMxMlgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIiIiJiIiKDYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzM1ODM1MlgqJSlhbnl0aGluZ0c2IyUlemVyb0c2IltnbCEjIiEhISIhIiQ2Igo=TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzYyMDQ3NlgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCEiIiEiJiEiKDYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzM1ODQzMlgqJSlhbnl0aGluZ0c2IyYlJXVuaXRHNiMiIiM2IltnbCEjIiEhISIhIiQ2Igo=TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzYzMjk2OFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCwkKiQiIzkjIiIiIiIjI0YrRiksJEYoI0YrIiIoCiwkRigjIiIkRik2Igo=TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzM1ODQzMlgqJSlhbnl0aGluZ0c2IyYlJXVuaXRHNiMiIiM2IltnbCEjIiEhISIhIiQ2Igo=TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzY0MjIyMFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiJCIiIyEiIjYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzY0NDk4MFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISQlISEhIiQiJCIiJCIiIyEiIjYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzY0ODc4NFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIiIiIUYoNiIKTTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzY1NTExNlgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIkYnIiIhNiIKTTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzYyOTY5NlgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIkYnRic2Igo=TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzY2MzI2OFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIyEiIiIiJDYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzY2NzAwOFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIkYnISIjNiIKTTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzY3MDgyMFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIyEiIiIiJDYiCg==TTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzY3NDIyOFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIkYnISIjNiIKTTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzY4MjUwNFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIiIiIUYoNiIKTTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzY4NjI0NFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiISIiIkYnNiIKTTdSMApJM1JUQUJMRV9TQVZFLzY4OTAwNFgqJSlhbnl0aGluZ0c2IjYiW2dsISMlISEhIiQiJCIiIUYnIiIiNiIK